Андрій Гончарук
Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики 9 клас Мерзляк 2021 використовують для повторення алгебри й геометрії за 7–9 класи, підготовки до річних контрольних та перевірки вміння розв’язувати комплексні роботи, повідомляє редакція DPA.
Посібник авторів Аркадія Мерзляка, Віталія Полонського та Михайла Якіра побудований за принципом поступового ускладнення: від коротких тестових вправ до задач, у яких потрібно записати повне обґрунтування, формули та послідовність дій.
У 2026 році учні, які завершують базову середню освіту, офіційно звільнені від державної підсумкової атестації. Закон № 4702-IX підписали 24 грудня 2025 року, а Український центр оцінювання якості освіти підтвердив, що випускники відповідних рівнів освіти не проходять ДПА. Водночас збірник Мерзляка не втратив практичного значення: школи можуть проводити річні, семестрові та діагностичні роботи, а завдання з посібника охоплюють базові теми, без яких неможливо продовжувати навчання математики у старшій школі.
Що містить збірник Мерзляка з математики для 9 класу
Збірник створений не як звичайний підручник із послідовним поясненням тем, а як комплект змішаних перевірних робіт. В одному варіанті поєднуються алгебраїчні обчислення, рівняння, функції, прогресії, геометричні побудови, задачі на площі, кола, трикутники та координати.
Учень не отримує підказки, до якого параграфа належить завдання, тому має самостійно визначити потрібний алгоритм. Саме це відрізняє підсумкову роботу від домашньої вправи після щойно вивченої теми.
Матеріал розрахований на перевірку всього курсу основної школи. Рівень складності в межах одного варіанта зростає поступово: перші завдання перевіряють розуміння правил і точність обчислень, наступні — уміння самостійно отримати коротку відповідь, а завершальні потребують повного математичного запису.
Типова логіка варіанта виглядає так:
| Частина роботи | Що перевіряється | Формат відповіді | Основний ризик |
|---|---|---|---|
| Початкові завдання | Формули, правила, базові обчислення | Вибір правильної відповіді | Неуважне читання умови |
| Завдання середнього рівня | Рівняння, функції, прогресії, геометричні обчислення | Число або короткий запис | Відсутність перевірки |
| Достатній рівень | Поєднання кількох тем | Послідовне розв’язання | Пропущені проміжні дії |
| Високий рівень | Нестандартна задача або доведення | Повне обґрунтування | Правильна відповідь без пояснення |
У різних виданнях і шкільних варіантах кількість блоків та нумерація можуть відрізнятися. Тому учневі слід орієнтуватися не лише на номер вправи, а передусім на її тип, умову й вимоги до оформлення.
Готова відповідь корисна лише після власної спроби. Якщо учень одразу переписує кінцевий результат, він не бачить, на якому етапі виникла помилка, і не вчиться вибирати потрібну формулу.
Для порівняння структури різних посібників можна переглянути розбір збірника Істера та Комаренко для 9 класу. У ньому також поєднані алгебра й геометрія, але формулювання та порядок вправ відрізняються, тому два збірники зручно використовувати для додаткового тренування.
Які теми з алгебри потрібно повторити
Алгебраїчна частина перевіряє не одну конкретну тему, а здатність учня швидко перемикатися між різними типами обчислень. В одному варіанті можуть послідовно з’явитися степені, раціональні вирази, квадратне рівняння, графік функції та арифметична прогресія.
Через таку будову механічне запам’ятовування відповідей не дає стабільного результату. Потрібно знати базові формули, розуміти обмеження та вміти перевіряти отримане число.
Найчастіше під час роботи виникають не концептуальні, а технічні помилки: загублений мінус, неправильне розкриття дужок, скорочення дробу без урахування області допустимих значень. Тому кожне розв’язання варто закінчувати короткою перевіркою.
Основні алгебраїчні теми:
- тотожні перетворення цілих і дробових виразів;
- формули скороченого множення;
- степінь із цілим показником;
- лінійні рівняння та нерівності;
- системи двох лінійних рівнянь;
- квадратні рівняння;
- теорема Вієта;
- квадратні нерівності;
- функції та їхні графіки;
- область визначення функції;
- арифметична прогресія;
- геометрична прогресія;
- текстові задачі на рух, роботу, відсотки та суміші;
- елементи комбінаторики й теорії ймовірностей.
Як розв’язати квадратне рівняння
Розглянемо рівняння:
x² − 7x + 12 = 0.
Коефіцієнти:
a = 1;
b = −7;
c = 12.
Знаходимо дискримінант:
D = b² − 4ac;
D = (−7)² − 4 · 1 · 12;
D = 49 − 48 = 1.
Корені:
x₁ = (7 − 1) : 2 = 3;
x₂ = (7 + 1) : 2 = 4.
Відповідь: 3; 4.
Це рівняння можна швидше розв’язати за теоремою Вієта. Потрібно знайти два числа, сума яких дорівнює 7, а добуток — 12. Такими числами є 3 і 4. Однак метод через дискримінант універсальніший і працює навіть тоді, коли корені не вдається побачити відразу.
Під час оформлення не слід обмежуватися записом «x = 3; 4». Для завдання, яке вимагає повного розв’язання, необхідно показати формулу дискримінанта, підстановку коефіцієнтів та обчислення кожного кореня.
Як працювати з арифметичною прогресією
Нехай перший член арифметичної прогресії дорівнює 5, різниця — 3. Потрібно знайти восьмий член.
Формула:
aₙ = a₁ + d(n − 1).
Підставляємо дані:
a₈ = 5 + 3 · (8 − 1);
a₈ = 5 + 21 = 26.
Відповідь: 26.
Якщо потрібно знайти суму перших восьми членів, застосовують формулу:
Sₙ = (a₁ + aₙ) · n : 2.
Отже:
S₈ = (5 + 26) · 8 : 2;
S₈ = 31 · 4 = 124.
Найпоширеніша помилка в таких завданнях — використання n замість n − 1 у формулі загального члена. Щоб її уникнути, можна перевірити другий член: a₂ має дорівнювати a₁ + d, а не a₁ + 2d.
Які теми з геометрії входять до збірника
Геометричні завдання вимагають не лише обчислень, а й правильного визначення властивості або теореми. Учень може знати формулу площі, але не побачити, що висоту потрібно знайти через теорему Піфагора. В іншій задачі достатньо використати властивість вписаного кута, проте неправильне тлумачення рисунка призводить до зайвих обчислень. Т
ому підготовка має включати роботу з кресленнями, а не лише читання готових розв’язань.
У повній відповіді потрібно вказувати одиниці вимірювання, записувати теорему або властивість, на якій ґрунтується дія, і не плутати довжину з площею. Якщо в умові немає рисунка, його доцільно виконати на чернетці, позначивши всі відомі величини.
Ключові геометричні теми:
| Розділ | Що треба знати | Типове завдання |
|---|---|---|
| Трикутники | Ознаки рівності, подібність, медіана, бісектриса, висота | Знайти сторону або довести подібність |
| Прямокутний трикутник | Теорема Піфагора, синус, косинус, тангенс | Обчислити катет, гіпотенузу або кут |
| Чотирикутники | Властивості паралелограма, ромба, прямокутника, трапеції | Знайти діагональ, висоту або площу |
| Коло | Центральні та вписані кути, дотична, хорда | Обчислити кут або довжину |
| Площі | Формули площ трикутника й чотирикутників | Знайти площу за сторонами чи висотою |
| Координати | Відстань між точками, координати середини | Побудувати або дослідити фігуру |
| Вектори | Координати, довжина, додавання | Знайти вектор або довести паралельність |
Приклад із теоремою Піфагора
Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9 см і 12 см. Потрібно знайти гіпотенузу та площу.
За теоремою Піфагора:
c² = a² + b²;
c² = 9² + 12²;
c² = 81 + 144 = 225;
c = 15 см.
Площа прямокутного трикутника:
S = ab : 2;
S = 9 · 12 : 2 = 54 см².
Відповідь: 15 см; 54 см².
Тут потрібно окремо вказати одиниці довжини та площі. Запис «54 см» буде помилковим, оскільки площу вимірюють у квадратних одиницях.
Як правильно користуватися відповідями та ГДЗ
Відповіді до збірника Мерзляка 2021 потрібно використовувати як інструмент перевірки, а не як заміну самостійного розв’язання. Короткий результат показує, чи правильно виконані обчислення, але не пояснює, чому потрібно застосувати саме цю формулу.
Повне розв’язання дає змогу порівняти логіку дій, знайти пропущений етап і перевірити оформлення.
Найефективніша схема складається з чотирьох кроків. Спочатку учень самостійно читає умову та визначає тему. Потім розв’язує завдання без підказок. Після цього звіряє кінцеву відповідь. Лише за наявності розбіжності відкриває повне пояснення і знаходить перший неправильний крок.
Правильний порядок роботи:
- Прочитати умову двічі.
- Виписати всі відомі величини.
- Визначити тему та потрібну формулу.
- Виконати розв’язання самостійно.
- Перевірити знаки, дужки та одиниці.
- Звірити кінцеву відповідь.
- У разі помилки знайти її точне місце.
- Закрити розв’язання і повторити задачу ще раз.
- Повернутися до неї через два-три дні.
Неправильний порядок виглядає інакше: учень бачить готові дії, переписує їх і вважає тему опрацьованою. Під час наступної контрольної відтворити цей алгоритм без зразка він уже не може.
Для додаткової практики можна використати розв’язання збірника Мерзляка для 9 класу у виданні 2022 року. Там розібрано типові рівняння, арифметичну прогресію, геометричні задачі та принцип оцінювання роботи.
«Здобувачів освіти, які у 2026 році завершують певний рівень повної загальної середньої освіти, буде звільнено від проходження ДПА» (Український центр оцінювання якості освіти, повідомлення від 24 грудня 2025 року).
Скасування державної атестації не забороняє школі перевіряти засвоєння програми. Річні оцінки формуються на основі результатів навчання протягом року, а вчителі можуть проводити підсумкові контрольні відповідно до освітньої програми закладу.
Актуальне пояснення статусу атестації, її відмінності від звичайних контрольних та можливих змін у наступні роки містить матеріал що таке ДПА і чи проводять її зараз.
Типові помилки у завданнях Мерзляка
Більшість утрачених балів пов’язана не з відсутністю знань, а з неуважним виконанням стандартних операцій. Учень правильно визначає формулу, але помиляється під час підстановки. Або знаходить потрібне число, проте не враховує обмеження, не записує одиниці вимірювання чи пропускає обґрунтування.
Чим складніше завдання, тим небезпечніше виконувати всі обчислення подумки. Один додатковий рядок у розв’язанні часто запобігає помилці, яку потім складно знайти.
Найпоширеніші помилки:
- неправильне перенесення доданка через знак рівності;
- втрата мінуса перед дужками;
- неправильне піднесення від’ємного числа до степеня;
- плутанина між формулами квадрата суми та різниці квадратів;
- відсутність області допустимих значень;
- скорочення дробу на вираз, який може дорівнювати нулю;
- використання n замість n − 1 у прогресії;
- неправильне визначення коефіцієнтів квадратного рівняння;
- плутанина між центральним і вписаним кутом;
- використання теореми Піфагора в непрямокутному трикутнику;
- пропущені квадратні одиниці у відповіді;
- відповідь без повного розв’язання там, де воно обов’язкове.
| Помилка | Як розпізнати | Як виправити |
|---|---|---|
| Неправильний знак | Відповідь не проходить перевірку підстановкою | Переписувати кожен етап окремим рядком |
| Помилка у формулі | Результат суперечить рисунку або умові | Перед підстановкою записати формулу словами |
| Загублене обмеження | Отримано заборонене значення | Записувати ОДЗ на початку |
| Неправильна одиниця | Площа записана у сантиметрах | Підкреслювати, що саме треба знайти |
| Немає обґрунтування | Є число, але немає логіки | Додати теорему, властивість або пояснення |
| Арифметична похибка | Алгоритм правильний, результат ні | Виконати зворотну дію або підстановку |
Як підготуватися за чотири тижні
Підготовка має починатися не з виконання максимальної кількості повних варіантів, а з діагностики слабких тем. Якщо учень систематично помиляється у дробових виразах, нові варіанти лише повторюватимуть ту саму проблему.
Спочатку потрібно відновити правило, виконати кілька однотипних вправ і лише потім повертатися до змішаних робіт.
Оптимальний режим — чотири заняття на тиждень тривалістю 40–50 хвилин. Два заняття варто присвятити алгебрі, два — геометрії. Наприкінці кожного тижня потрібно повторно розв’язати завдання, у яких раніше були помилки.
| Тиждень | Основна робота | Результат |
|---|---|---|
| 1 | Діагностичний варіант, повторення рівнянь, дробів і формул | Визначені слабкі теми |
| 2 | Функції, прогресії, текстові задачі, трикутники | Відновлені основні алгоритми |
| 3 | Чотирикутники, коло, площі, координати, змішані вправи | Учень перемикається між темами |
| 4 | Два-три повні варіанти з обмеженням часу | Відпрацьовано темп і оформлення |
Приклад тижневого графіка:
- понеділок — рівняння та нерівності;
- вівторок — трикутники й теорема Піфагора;
- четвер — функції, прогресії, текстові задачі;
- субота — чотирикутники, коло та координати;
- неділя — короткий розбір помилок без нової теми.
Під час повного тренувального варіанта потрібно відтворити умови контрольної: прибрати телефон, не користуватися відповідями, працювати без перерв і позначати завдання, які забирають надто багато часу. Після завершення важливо не лише підрахувати правильні відповіді, а розподілити помилки за категоріями: незнання правила, неправильний вибір методу, арифметика, неуважність або оформлення.
Як оформлювати повні розв’язання
У завданнях високого рівня кінцевого числа недостатньо. Учень має показати математичну логіку: що відомо, яку формулу використано, як виконано підстановку і чому отриманий результат відповідає умові. Геометричні задачі часто потребують рисунка, посилання на теорему та запису одиниць.
Структура якісного розв’язання:
- Коротко записати дані.
- Позначити невідому величину.
- Навести формулу або теорему.
- Підставити числові значення.
- Виконати обчислення без пропущених переходів.
- Перевірити результат.
- Записати відповідь із потрібними одиницями.
Для текстової задачі додатково потрібно пояснити, що означає змінна. Наприклад: «Нехай x км/год — швидкість першого автомобіля». Рівняння без такого пояснення формально може бути правильним, але його логіка залишається незрозумілою.
У геометрії фрази «за теоремою Піфагора», «оскільки трикутники подібні» або «вписаний кут удвічі менший за центральний» показують підставу для подальших дій. Це особливо важливо в задачах на доведення.
Чи актуальний збірник Мерзляка 2021 року у 2026 році
Мерзляк 2021 математика 9 клас залишається придатним для повторення базової програми, хоча державну підсумкову атестацію у 2026 році не проводять. Рівняння, функції, прогресії, властивості трикутників, кола та чотирикутників не втратили актуальності через зміну року видання.
Застаріти можуть організаційні відомості про проведення іспиту, тривалість роботи, порядок вибору завдань або систему оцінювання, якщо школа використовує власний формат контрольної.
Саме тому потрібно розділяти навчальну й адміністративну частини. Для опрацювання формул та алгоритмів збірник підходить. Для інформації про обов’язковість ДПА, дати, тривалість і правила проведення слід перевіряти чинні документи та повідомлення школи.
У 2026 році офіційне звільнення від атестації поширюється на учнів, які завершують відповідний рівень загальної середньої освіти. Це означає, що дев’ятикласник отримує документ про базову середню освіту без складання державної підсумкової атестації.
Водночас школа може використовувати завдання Мерзляка для:
- річної контрольної;
- діагностики знань після канікул;
- повторення курсу 7–9 класів;
- підготовки до вступного випробування у ліцей;
- індивідуальних занять із репетитором;
- перевірки готовності до поглибленого вивчення математики;
- літнього повторення перед 10 класом.
Питання та відповіді
Чи проводять ДПА з математики у 9 класі у 2026 році?
Ні. Учнів, які у 2026 році завершують рівень базової середньої освіти, звільнено від державної підсумкової атестації відповідно до Закону № 4702-IX.
Чи потрібно купувати збірник, якщо ДПА скасована?
Для отримання документа про освіту він не потрібен. Проте збірник можна використовувати для річної контрольної, повторення програми та підготовки до вступу в ліцей або клас із поглибленим вивченням математики.
Чи достатньо лише готових відповідей?
Ні. Короткі відповіді дають змогу перевірити результат, але не пояснюють алгоритм. Для складних завдань потрібне повне розв’язання з формулами, обґрунтуванням і перевіркою.
Скільки варіантів потрібно розв’язати?
Спочатку доцільно виконати один діагностичний варіант. Після повторення слабких тем достатньо розв’язати ще чотири-шість повних варіантів, ретельно аналізуючи кожну помилку. Механічне виконання десятків робіт без розбору менш ефективне.
Чи можна користуватися калькулятором?
Це залежить від правил конкретної шкільної контрольної. Під час тренування базові обчислення краще виконувати самостійно, оскільки збірник перевіряє не лише вибір формули, а й обчислювальні навички.
Що робити, якщо відповідь не збігається з ГДЗ?
Потрібно перевірити умову, номер варіанта, рік видання та кожен проміжний крок. У різних виданнях можуть відрізнятися числові дані. Якщо власне розв’язання логічне й проходить перевірку, помилка може бути в опублікованій відповіді.
Збірник завдань ДПА з математики 9 клас Мерзляк 2021 доцільно використовувати як тренажер, а не як джерело для переписування готових результатів. Послідовна робота — власна спроба, перевірка, аналіз помилки та повторне розв’язання — дає змогу відновити програму алгебри й геометрії та підготуватися до будь-якої шкільної підсумкової роботи.
Більше практичних пояснень для батьків і школярів — у матеріалі: Підсумкові контрольні з української мови та літературного читання для 4 класу (М. Вашуленко, видання 2021): що змінилося