Збірник Мерзляк 2018: геометрія та алгебра 9 клас

ГДЗ до збірника Мерзляка 2018 з математики для 9 класу використовують не лише для звіряння кінцевих відповідей, а й для перевірки алгоритмів, формул та оформлення задач, повідомляє редакція DPA. Видання авторів Анатолія Мерзляка, Віталія Полонського і Михайла Якіра було підготовлене для державної підсумкової атестації, містить завдання з алгебри та геометрії й побудоване за принципом поступового переходу від тестів до задач із повним обґрунтуванням.

Збірник 2018 року випущений харківським видавництвом «Гімназія». Окремий посібник із розв’язаннями має 160 сторінок, а доступний перелік охоплює 50 варіантів атестаційних робіт.

Це означає, що учень може не просто знайти потрібний номер, а системно відпрацювати рівняння, функції, прогресії, трикутники, кола, координати та інші теми курсу 7–9 класів.

Що містить збірник Мерзляка 2018 і як побудовані завдання

Збірник створений як комплект тренувальних варіантів, у яких алгебра та геометрія перевіряються разом. За доступними описами видання, до нього входять 50 атестаційних робіт, поділених на чотири частини, що відрізняються складністю та формою відповіді. Початкові блоки перевіряють знання формул і базових правил, тоді як завершальні завдання потребують розгорнутого запису, обчислень і пояснення кожної дії.

Такий формат дає змогу оцінити не лише швидкість рахунку. Учень має показати, що розуміє зв’язок між умовою, математичною моделлю, формулою та результатом.

Саме тому відповіді до Мерзляка 2018 не варто використовувати як список чисел для переписування: у складніших задачах правильний результат без логічного обґрунтування не показує, де виникла помилка.

Основні групи завдань у збірнику можна поділити так:

Блок	Що перевіряється	Тип відповіді	На що звернути увагу
Базові тести	Формули, означення, прості обчислення	Вибір одного варіанта	Знаки, порядок дій, одиниці вимірювання
Короткі завдання	Рівняння, функції, координати, геометричні обчислення	Число або короткий запис	Область допустимих значень, точність
Комбіновані задачі	Кілька послідовних дій	Часткове розв’язання	Проміжні результати та перевірка
Розгорнуті задачі	Доведення, побудова моделі, складна геометрія	Повний запис	Теореми, пояснення, креслення

На практиці один варіант краще виконувати без підказок, а вже потім відкривати готове розв’язання. Якщо дивитися відповідь після кожного кроку, учень запам’ятовує чужу послідовність дій, але не вчиться самостійно вибирати метод.

Найкорисніша частина ГДЗ — не останній рядок із відповіддю, а перехід від умови до першої формули. Саме на цьому етапі найчастіше стає зрозуміло, чи учень розпізнав тип задачі.

Для порівняння структури різних збірників можна переглянути розбір завдань Мерзляка для ДПА з математики у 9 класі. Матеріал пояснює логіку переходу від тестових вправ до задач із повним обґрунтуванням і містить приклади з алгебри та геометрії.

Які теми з алгебри трапляються найчастіше

Алгебраїчні завдання охоплюють основні теми, які учні проходять у 7–9 класах. Серед них — раціональні вирази, лінійні та квадратні рівняння, системи рівнянь, нерівності, функції, послідовності, арифметична й геометрична прогресії.

Частина вправ побудована на прямому застосуванні формули, але складніші номери вимагають спочатку перетворити вираз або скласти рівняння за текстовою умовою.

Найчастіше під час перевірки відповідей варто повертатися до таких тем:

дії зі степенями та коренями;
розкладання многочлена на множники;
скорочення алгебраїчних дробів;
розв’язування квадратних рівнянь;
застосування теореми Вієта;
системи двох рівнянь із двома змінними;
лінійні та квадратні нерівності;
графіки лінійної та квадратичної функцій;
формули арифметичної прогресії;
формули геометричної прогресії;
текстові задачі на рух, роботу, відсотки та суміші.

Для квадратного рівняння $ax^2+bx+c=0$ ax2+bx+c=0 базовим способом залишається обчислення дискримінанта: $D=b^2-4ac$ D=b2−4ac

Після цього корені знаходять за формулою: $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ x1,2=2a−b±D

Якщо $D<0$ D<0, рівняння не має дійсних коренів. Якщо $D=0$ D=0, існує один корінь. За додатного дискримінанта рівняння має два різні корені. У ГДЗ цей етап часто записаний стисло, але під час самостійної роботи краще окремо показувати підстановку коефіцієнтів, обчислення дискримінанта й перевірку отриманих значень.

Як користуватися ГДЗ, щоб знайти помилку, а не просто переписати відповідь

ГДЗ математика 9 клас Мерзляк дає найбільше користі тоді, коли учень порівнює власне рішення з еталоном поетапно. Спочатку потрібно прочитати умову, виписати відомі дані, визначити шукану величину й самостійно вибрати формулу або теорему.

Лише після завершення розрахунків варто відкривати відповідь. Якщо результат не збігається, перевірку слід починати не з останньої арифметичної дії, а з математичної моделі.

Розбіжність може виникнути через неправильно переписане число, пропущений знак мінус, невраховане обмеження або помилково вибрану формулу. У геометрії до цього додаються неточне креслення, неправильне визначення подібних трикутників і використання властивості, якої немає в умові. Один правильно знайдений збій корисніший за механічне виконання десяти нових номерів.

Оптимальний алгоритм перевірки виглядає так:

Розв’язати завдання без ГДЗ.
Записати кінцеву відповідь окремо.
Порівняти не лише число, а й метод.
Знайти перший рядок, де рішення почало відрізнятися.
Позначити тип помилки.
Повторити завдання без підказки через один-два дні.
Виконати ще дві вправи такого самого типу.

Помилки зручно розподіляти за категоріями:

Тип помилки	Приклад	Як виправляти
Арифметична	Неправильно обчислено добуток або різницю	Перерахувати окремо, перевірити зворотною дією
Алгебраїчна	Змінено знак під час перенесення	Виділяти кожне перенесення окремим рядком
Формульна	Переплутано формули прогресії	Створити картку з формулами та позначеннями
Логічна	Неправильно складено рівняння з умови	Перекласти кожне речення умови математичною мовою
Геометрична	Застосовано теорему без потрібної умови	Підписати на кресленні всі відомі величини
Оформлення	Немає пояснення або одиниць	Додати посилання на теорему й повну відповідь

Якщо помилка повторюється, її потрібно записати в окремий журнал. Наприклад: «під час розкриття дужок не змінив знаки», «у формулі площі трикутника забув поділити на два», «не перевірив сторонній корінь». Такий список поступово перетворюється на персональну карту слабких місць.

Учням, яким складно організувати повторення, допоможе двотижневий план відновлення знань із математики. Його можна адаптувати до дев’ятого класу: перші дні відвести на діагностику, далі чергувати алгебру й геометрію, а завершити роботу повним варіантом.

«Розбір помилок важливіший за кількість розв’язаного: заведіть окремий зошит і виписуйте туди кожну задачу, що не далася з першого разу» (Андрій Гончарук, матеріал про підготовку за збірником Мерзляка, опублікований 9 липня 2026 року).

Ця рекомендація відповідає практичній логіці підготовки: якщо учень лише звірив кінцеве число і перейшов далі, причина помилки залишилася. Якщо ж він повторно виконав той самий тип завдання без підказки, зростає ймовірність, що алгоритм буде відтворений на контрольній.

Як перевіряти алгебраїчне розв’язання

Під час роботи з рівняннями відповідь потрібно підставляти у вихідну умову. Для системи рівнянь перевіряють обидва рівняння. Для дробово-раціональних виразів спочатку записують область допустимих значень, а вже потім скорочують дроби.

Під час розв’язування нерівностей окремо контролюють момент множення або ділення на від’ємне число, оскільки знак нерівності в такому разі змінюється.

Для функцій необхідно розрізняти кілька типів запитань:

знайти значення функції за заданим аргументом;
знайти аргумент за відомим значенням функції;
визначити нулі функції;
встановити проміжки зростання і спадання;
знайти точки перетину з осями;
побудувати або прочитати графік;
порівняти значення функції на різних проміжках.

Якщо в ГДЗ наведено лише короткий розрахунок, учневі варто доповнити його поясненням. Наприклад, запис « $y=0$ y=0» має супроводжуватися уточненням, що для знаходження нулів функції прирівнюють до нуля її значення, а потім розв’язують отримане рівняння.

Розбір геометрії у збірнику Мерзляка 2018

Розв’язання геометрії 9 клас Мерзляк потребує більшої уваги до оформлення, ніж короткі алгебраїчні вправи. Умову потрібно перенести на рисунок, позначити рівні сторони й кути, провести допоміжні відрізки та лише після цього вибирати теорему. Невдале або неточне креслення часто змушує учня шукати залежність, якої в задачі немає.

До кола ключових тем входять трикутники, чотирикутники, коло, подібність, теорема Піфагора, тригонометричні співвідношення, площі фігур, координати й вектори.

Частина задач перевіряє одну властивість, інші поєднують дві або три теми. Наприклад, спочатку потрібно довести подібність трикутників, потім скласти пропорцію, а після знаходження сторони обчислити площу.

Для кожної задачі варто дотримуватися однакової структури:

коротко записати, що дано;
зазначити, що потрібно знайти або довести;
виконати креслення;
позначити відомі довжини та кути;
назвати теорему або властивість;
підставити числа;
виконати обчислення;
записати відповідь з одиницями вимірювання.

Набір базових формул, які потрібно впевнено застосовувати:

Тема	Формула або властивість
Теорема Піфагора	$c^2=a^2+b^2$ c2=a2+b2
Площа трикутника	$S=\frac{1}{2}ah$ S=21ah
Площа прямокутного трикутника	$S=\frac{1}{2}ab$ S=21ab
Площа паралелограма	$S=ah$ S=ah
Площа трапеції	$S=\frac{(a+b)h}{2}$ S=2(a+b)h
Довжина кола	$L=2\pi R$ L=2πR
Площа круга	$S=\pi R^2$ S=πR2
Синус гострого кута	$\sin\alpha=\frac{\text{протилежний катет}}{\text{гіпотенуза}}$ sinα=гіпотенузапротилежний катет
Косинус гострого кута	$\cos\alpha=\frac{\text{прилеглий катет}}{\text{гіпотенуза}}$ cosα=гіпотенузаприлеглий катет
Тангенс гострого кута	$\tan\alpha=\frac{\text{протилежний катет}}{\text{прилеглий катет}}$ tanα=прилеглий катетпротилежний катет

Розглянемо типовий приклад. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Потрібно знайти гіпотенузу та площу.

За теоремою Піфагора: $c^2=6^2+8^2=36+64=100$ c2=62+82=36+64=100 $c=10\text{ см}$ c=10 см

Площа: $S=\frac{6\cdot8}{2}=24\text{ см}^2$ S=26⋅8=24 см2

У відповіді потрібно вказати обидві величини: 10 см і 24 см². Аналогічний приклад використано в матеріалі з розбором збірника Мерзляка.

Навіть просте геометричне завдання слід оформлювати так, щоб перевіряльник бачив: учень визначив тип трикутника, правильно застосував теорему і не отримав результат випадково.

Типові помилки у задачах на трикутники, коло та координати

Найпоширеніша помилка в геометрії — спроба одразу підставити числа у знайому формулу. Формула може бути правильною, але умови для її застосування — відсутні. Наприклад, теорема Піфагора працює лише для прямокутного трикутника.

Якщо прямий кут не вказаний і не доведений, використовувати співвідношення $c^2=a^2+b^2$ c2=a2+b2 не можна.

У задачах на подібність учні часто правильно бачать два однакові кути, але неправильно встановлюють відповідність сторін. Через це пропорція складається у зворотному порядку. Щоб уникнути помилки, потрібно записувати вершини подібних трикутників у відповідній послідовності.

Основні ризики за темами:

Трикутники

плутанина між медіаною, бісектрисою та висотою;
використання властивості рівнобедреного трикутника без підтвердження;
неправильне визначення гіпотенузи;
пропущений множник $1/2$ 1/2 у формулі площі;
невідповідність сторін у подібних трикутниках;
відсутність пояснення рівності кутів.

Коло

плутанина між радіусом і діаметром;
використання формули площі замість довжини кола;
неправильне визначення дуги, на яку спирається кут;
помилка у співвідношенні центрального та вписаного кутів;
відсутність позначення дотичної та радіуса, проведеного в точку дотику.

Координати й вектори

зміна порядку координат;
арифметична помилка під час піднесення різниці до квадрата;
неправильний знак у координатах вектора;
плутанина між довжиною відрізка й координатами середини;
відсутність квадратного кореня у фінальній формулі відстані.

Для точок $A(x_1;y_1)$ A(x1;y1) і $B(x_2;y_2)$ B(x2;y2) відстань обчислюють за формулою: $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2

Координати середини відрізка: $M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ M(2×1+x2;2y1+y2)

Під час самоперевірки корисно оцінити результат приблизно. Якщо точки відрізняються лише на кілька одиниць, а довжина відрізка вийшла кількасот, помилка очевидна ще до звіряння з ГДЗ.

Де знайти відповіді до 50 варіантів Мерзляка 2018

Окрема сторінка з відповідями ДПА Мерзляк 2018 містить навігацію за всіма 50 варіантами. На ній також зазначені автори, рік видання, видавництво та обсяг посібника з розв’язаннями. Перелік варіантів дає змогу перейти саме до потрібного комплекту завдань, не переглядаючи весь матеріал послідовно.

Перед пошуком відповіді потрібно звірити:

Рік видання — 2018.
Авторів — А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Видавництво — «Гімназія».
Номер варіанта.
Номер завдання.
Формулювання умови.
Числові дані та рисунок.

Це принципово, оскільки збірники різних років можуть мати схожу обкладинку й однакову структуру, але інші числа, переставлені завдання або змінені умови. Відповідь із видання іншого року може виглядати правдоподібно, хоча фактично стосується іншої задачі.

Якщо потрібен альтернативний набір вправ, можна використати збірник Істера і Комаренко 2021 року з розбором алгебри та геометрії. Він підходить для перевірки, чи здатен учень застосувати ту саму формулу в іншому формулюванні.

Корисно також порівнювати способи розв’язання. У квадратному рівнянні один автор може використати дискримінант, інший — теорему Вієта.

У системі рівнянь можливі метод підстановки, додавання або графічний спосіб. Якщо обидва методи коректні, учень може вибрати той, який швидше й надійніше відтворює самостійно.

Як скласти план підготовки за збірником

Підготовка лише за готовими відповідями не дає стабільного результату. Потрібно поєднати коротке повторення теорії, тематичні вправи, повні варіанти й аналіз помилок. Робочий цикл триває від двох до чотирьох тижнів залежно від початкового рівня.

Приклад плану на чотири тижні:

Тиждень	Алгебра	Геометрія	Контроль
1	Вирази, рівняння, системи	Трикутники, Піфагор, площі	Діагностичний варіант
2	Нерівності, функції	Подібність, коло	Тематичні мінітести
3	Прогресії, текстові задачі	Координати, вектори	Два змішані блоки
4	Повторення слабких тем	Повторення слабких тем	Два повні варіанти на час

Один день не варто перевантажувати великою кількістю однотипних вправ. Ефективніша схема — 40–50 хвилин роботи, у межах яких учень повторює одну формулу, виконує кілька завдань і розбирає одну помилку. Наприкінці тижня потрібен змішаний варіант, де теми не підписані заздалегідь.

Розподіл часу на занятті може бути таким:

5 хвилин — усне повторення формул;
10 хвилин — два базові завдання;
15 хвилин — одне завдання середнього рівня;
15 хвилин — складна задача або геометрія;
5 хвилин — перевірка й запис помилок.

Під час останніх тренувань потрібно працювати без телефону, підручника й готових відповідей. ГДЗ відкривають лише після завершення варіанта. Такий режим показує реальний рівень підготовки та допомагає правильно розподіляти час.

Що робити, якщо розв’язання у ГДЗ незрозуміле

Короткі рішення іноді пропускають проміжні дії. Автори можуть вважати очевидним скорочення дробу, перенесення доданка або застосування відомої властивості. Для учня саме цей пропущений перехід часто є головною складністю.

У такій ситуації потрібно:

переписати два сусідні рядки;
визначити, що саме змінилося;
розкласти перетворення на кілька дрібних дій;
перевірити кожну дію окремо;
знайти правило або формулу в підручнику;
виконати аналогічний приклад із простішими числами;
повернутися до вихідного завдання.

Наприклад, якщо в розв’язанні одразу з’явилося розкладення $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ x2−5x+6=(x−2)(x−3), потрібно перевірити добуток: $(-2)\cdot(-3)=6$ (−2)⋅(−3)=6, а сума чисел $-2+(-3)=-5$ −2+(−3)=−5. Після цього стає зрозуміло, як утворилися множники.

Якщо незрозуміло геометричне доведення, варто окремо виписати:

Які фігури порівнюються.
Які елементи вже відомі.
Яку ознаку рівності або подібності застосовано.
Який висновок отримано.
Для чого цей висновок потрібен у наступному кроці.

У геометрії не слід орієнтуватися лише на вигляд рисунка. Відрізки можуть здаватися рівними, а кути — прямими, хоча цього немає в умові. Усі властивості мають підтверджуватися даними задачі, означенням або доведенням.

Чи можна використовувати збірник 2018 року зараз

Завдання збірника залишаються придатними для повторення базового курсу алгебри та геометрії 7–9 класів. Формули квадратного рівняння, прогресій, площ, координат і тригонометричних співвідношень не залежать від року видання.

Водночас конкретний формат шкільної контрольної, перелік тем і правила оцінювання потрібно уточнювати у вчителя.

Збірник доцільно використовувати для:

підготовки до річної контрольної;
повторення курсу перед вступом до ліцею;
діагностики прогалин;
тренування оформлення розгорнутих задач;
відновлення знань після канікул;
підготовки до тематичного оцінювання;
самостійної роботи за індивідуальним планом.

Старе видання не варто сприймати як єдине джерело. Якщо школа працює за оновленою програмою або вчитель використовує інший формат, до збірника потрібно додати актуальні підручники, контрольні роботи та рекомендації педагога.

Запитання та відповіді

Чи містить збірник Мерзляка 2018 лише завдання з алгебри?

Ні. Варіанти поєднують алгебру й геометрію. Учневі потрібно повторити рівняння, функції та прогресії, а також трикутники, коло, площі, координати й вектори.

Скільки варіантів є у збірнику?

У доступному переліку відповідей представлено 50 варіантів. Для кожного варіанта передбачена окрема навігація.

Чи достатньо переписати правильну відповідь?

Ні. Для складних завдань потрібно розуміти метод, показати обчислення, назвати використану теорему та правильно оформити висновок. Переписування кінцевого числа не допомагає знайти прогалину в знаннях.

Як швидко знайти потрібне завдання?

Спочатку звірте рік, авторів і видавництво, потім відкрийте номер варіанта та перевірте формулювання умови. Не орієнтуйтеся лише на номер, оскільки в різних виданнях він може відповідати іншій вправі.

Що робити, якщо відповідь збігається, а спосіб розв’язання інший?

Перевірити, чи всі математичні дії коректні. Багато задач мають кілька способів розв’язання. Якщо власний метод логічний, не порушує умов і приводить до правильної відповіді, він може бути повноцінною альтернативою.

Як краще готувати геометрію?

Потрібно чергувати повторення теорем із розв’язуванням задач, обов’язково виконувати креслення та записувати пояснення. Окремо варто відпрацювати трикутники, подібність, коло, площі, координати й вектори.

ГДЗ до збірника Мерзляка 2018 варто використовувати як інструмент самоперевірки: спочатку виконати завдання, потім порівняти методи, визначити першу помилку й повторити аналогічну вправу без підказки. Така схема дає значно більше, ніж механічне копіювання готового результату.

Більше практичних пояснень для батьків і школярів — у матеріалі: Підсумкові та діагностичні роботи з математики для 4 класу (Н. Листопад, видання 2021): відповіді та розбір

ГДЗ до збірника Мерзляка 2018 з математики для 9 класу: відповіді, розвʼязання і розбір геометрії